Периметр треугольника равен 12. Докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы  одной из его вершин больше 2.

Одно из основных свойств треугольника:Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c,  a > b – c;  и это верно для каждой стороны любого треугольника.Сумма двух сторон треугольника  периметра 12 должна быть обязательно больше его полупериметра, иначе треугольник не получится.И поэтому расстояние от любой точки плоскости - независимо от того, вне или внутри треугольника точка-   до хотя бы одной из вершин этого треугольника будет больше половины длины большей его стороны, т.е. больше 2. Предположим, существует такая точка, расстояние от которой до вершин треугольника не больше 2-х. Тогда она при соединении с каждой парой вершин треугольника должна образовать треугольник, сумма длин двух сторон которого 4 или меньше, а третья сторона  - обязательно меньше этой суммы по одному из основных свойств треугольника.Это верно для каждой пары вершин, и в итоге получится, что каждая сторона исходного треугольника меньше 4, а его периметр  меньше 12, что противоречит условию задачи.   Следовательно, расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин треугольника с периметром 12 больше 2-х, что и требовалось доказать.-----bzs@