В правильной шестиугольной пирамиде угол между боковой гранью и основанием = 45 градусов, объём пирамиды = 162. Найти сторону основания этой пирамиды.

 Сторону основания этой пирамиды найдем из ее объема. Объем пирамиды находят по формуле  V=Sh:3 Площадь основания данной пирамиды - площадь правильного  шестиугольника- состоит из суммы площадей шести правильных  треугольников.  Пусть сторона каждого из них равна а. Площадь правильного шестиугольника  S = pr = 3a²√3/2,  где p − полупериметр шестиугольникa, a r- радиус вписанной в  него окружности, или, иначе - апофема правильного  шестиугольника (т.е. высота  одного из правильных  треугольников, составляющих этот шестиугольник). Так как боковая грань  и основание пирамиды образуют угол  45°, высота пирамиды равна апофеме шестиугольника в  основании пирамиды.   Напомню, что апофемой правильного шестиугольника называют  перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне.  (В задачах редко встречается, но такое название есть). Высота пирамиды и апофема основаниия здесь - катеты  равнобедренного прямоугольного треугольника m = h= a√3/2  Следовательно,   V={3a²√3):2}·{a√3):2}:3=9a³:12=3a³:4 162=3a³:4  а³=162·4:3=216 а= ∛216=6