Прямі, яким належать сторони ромба з кутом 150градусів, дотикаються до сфери діаметра 20см. Знайти периметр і площу ромба, якщо відстань від центра сфери до площини ромба дорівнює 8см.

Проведём плоскость перпендикулярную плоскости ромба через центр сферы. На ней след плоскости ромба будет хордой окружности радиуса R, где R=10-радиус сферы. Для ромба хорда является диаметром вписанной окружности равным 2r. Проведём  из центра сферы радиус в точку  касания хорды, и перпендикуляр к хорде h=8. Тогда по теореме Пифагора r=корень из(R квадрат -h квадрат)=корень из(100-64)=6. По известным формулам площадь ромба равна S=4( r квадрат)/sin 150= 4* 36*/0,5=288.  Площадь также можно выразить через радиус вписанной окружности S=2а*r. Отсюда сторона ромба а=S/2r=288/2*6=24. Периметр=96.