Пусть с-гипотенуза, A,B-катеты, H-высота, проведенная к гипотенузе,Ac, Bc-проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника. Найти:1)C,H.Ac,Bc, если А=9 см,  B=12 cм; 2)B,H,Ac,Bc, если А=12 см, С=13см 

Ответ:

a, b - катеты прямоугольного треугольника,

с - гипотенуза,

h - высота, проведенная к гипотенузе,

a_{c},\: b_{c} - проекции катетов на гипотенузу,

По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике справедливы равенства:

h^{2}=a_{c}\cdot b_{c}

a^{2}=a_{c}\cdot c

b^{2}=b_{c}\cdot c

И, конечно, теорема Пифагора:

c² = a² + b²

Формула высоты выводится из двух формул площади:

S=\dfrac{1}{2}ch=\dfrac{1}{2}ab

h=\dfrac{ab}{c}

1) a = 9 см, b = 12 см

c² = a² + b²

c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{(81+144)}=\sqrt{225}=15 см

h=\dfrac{ab}{c}=\dfrac{9\cdot 12}{15}=\dfrac{36}{5}=7,2 см

a^{2}=a_{c}\cdot c, откуда

a_{c}=\dfrac{a^{2}}{c}=\dfrac{81}{15}=\dfrac{27}{5}=5,4 см

b^{2}=b_{c}\cdot c, откуда

b_{c}=\dfrac{b^{2}}{c}=\dfrac{144}{15}=9,6 см

2) a = 12 см, c = 13 см.

c² = a² + b²

b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5 см

h=\dfrac{ab}{c}=\dfrac{12\cdot 5}{13}=\dfrac{60}{13}=4\dfrac{8}{13} см

a_{c}=\dfrac{a^{2}}{c}=\dfrac{144}{13}=11\dfrac{1}{13} см

b_{c}=\dfrac{b^{2}}{c}=\dfrac{25}{13}=1\dfrac{12}{13} см