Точки К и М лежат на основании АС равнобедренного треугольника АВС, угол ВКА = углу ВМС. Докажите, что АК = СМ

Это сразу ясно из того, что тр KMB тоже равнобедренный (углы при основании равны); 

Поэтому точки K и M симметричны отностительно высоты ВН :))) так же как точки А и С. А значит, симметричны отрезки КМ и МС.  Всё доказано.

КВМ - равнобедренный, КВ = ВМ, углы К=М

АВС - равнобедренный, АВ=ВС, углы А=С

Значит углы В у боковых триугольников тоже равны

Значит боковые триугольники АВК=СВМ

ну и стороны их соответственно