Прямая BK перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника ABC

BK=AB
M - середина AC

Заполните таблицу

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

1. ∠(КА; АВС)

КА - наклонная к АВС, ВА - ее проекция, ⇒

∠(КА; АВС) = ∠КАВ = 45°, так как ΔКАВ прямоугольный равнобедренный.

Ответ: ∠(КА; АВС), вершина угла - А.

2.  ∠(КМ; АВС)

КМ - наклонная к АВС, ВМ - ее проекция, ⇒

∠(КМ; АВС) = ∠КМВ

ВМ = а√3/2 как медиана равностороннего треугольника,

ΔKMB:   tg∠KMB = KB / BM = a / (a√3/2) = 2/√3 = 2√3/3

∠KMB = arctg (2√3/3)

Ответ:  ∠(КМ; АВС) = arctg (2√3/3), вершина - М.

3.  ∠(СА; МВК)

ВМ⊥СА как медиана и высота равностороннего треугольника,

КВ⊥СА, так как КВ перпендикуляр к плоскости АВС, СА лежит в АВС,

значит СА⊥МВК, т.е.

∠(СА; МВК) = 90°.

Ответ: ∠(СА; МВК) = 90°, вершина - М.

4. ∠(ВА, ВМК)

АМ⊥МВК (доказано выше), значит ВМ - проекция ВА на МВК, тогда

∠(ВА; ВМК) = ∠АВМ = 30°, т.к. в прямоугольном треугольнике АВМ катет АМ в два раза меньше гипотенузы АВ.

Ответ: ∠(ВА; ВМК) = 30°, вершина В.

5. ∠(МВ; АСК)

Проведем ВН⊥КМ.

АС⊥ВМК (доказано выше), ⇒ АС⊥ВН, тогда

ВН⊥АСК.

Значит НМ - проекция МВ на плоскость АСК, тогда

∠(МВ; АСК) = ∠ВМН или ∠KMB = arctg (2√3/3) (из п. 2)

Ответ: ∠(МВ; АСК) = arctg (2√3/3). вершина М.