В треугольник АBC известны стороны АС=2, AB=3 . BC=4.На прямой АС взята точка D отличная от С так что треугольник ABD подобен треугольнику АСВ. Найдите BD а также расстояние от D до середины BC

Точка D выбирается так, что

угол BDA = угол CBA; Обозначим его за Ф.

тогда в треугольниках АВС и ABD все углы попарно равны;

Сторона АВ в ABD соответствует стороне АС в АВС - это видно из соответствия углов и сторон; 

Поэтому ABD имеет все линейные размеры в 3/2 раза больше (его стороны равны 3; 4,5; 6). То есть BD = 6.

Отсюда, кроме того, DC = 2,5. 

Надо вычислить длину медианы DM в треугольнике BDC.

См чертеж. Из достроенного тр-ка CDD1 (СD1 II BD) по теореме косинусов

(2*m)^2 = x^2 + z^2 + 2*x*z*cosФ;

А из тр-ка BDC 

y^2 = x^2 + z^2 - 2*x*z*cosФ; здесь y = ВС.

Складываем, и получаем выражение для квадрата медианы через квадраты сторон :)))

m^2 = (2*x^2 + 2*z^2 - y^2)/4; Подставляем x = 6, y = 4, z = 2,5.

получаем 

m = корень(30)*3/4

Я добавил чертеж, поясняющий, как строится треугольник BDA