В окружности радиус которой равен 5, проведена хорда АВ = 8. Точка С лежит на хорде АВ так что АС:ВС=1:2. Найдите радиус окружности касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С

Если посмотрите на чертеж, то всё довольно прозрачно.

Нам фактически задана СН (это 1/2 - 1/3 = 1/6 от длины хорды), а ОН легко вычислить, она равна 3 ( тр-к АНО прямоугольный со сторонами 5, 4, и, конечно, 3);

Из рисунка понятно, как составить уравнение на радиус окружности.

O1K II AB, O1CHK - прямоугольник. О1ОК и есть треугольник (прямоугольный), из которого находится r. Причем уравнение получается даже не квадратное - вторая степень r сокращается.

(R - r)^2 = CH^2 + (r + OH)^2;

R^2-2*R*r = CH^2 + OH^2 +2*OH*r; Любопытно, что СН^2 + OH^2 = OC^2;

r = (1/2)*(R^2 - OC^2)/(R+OH). Это уже ответ. Давайте вычислим.

СH = 8/6 = 4/3; OH = 3; OC^2 = OH^2 + CH^2 = 16/9 + 9; R + OH = 8;

r = (1/2)(25 - 9 - 16/9)/8 = 16*(1- 1/9)/16 = 8/9 

Можно ввести более общий случай, если заданы R, расстояние ДО хорды H и расстояние X от СЕРЕДИНЫ хорды до точки касания малой окружностью. 

Тогда

r = (1/2)(R^2 - X^2 - H^2)/(R+H);

Опять таки, X^2 + H^2 = CO^2 (квадрат расстояния от центра большой окружности до точки касания)