в прямоугольном треугольнике АВС угол А=90 медиана АМ делит биссектрису СК в отношении 9/4 считая от вершины С. найдите tg угла С

Обозначим О - точка пересечения биссектрисы и медианы. Пусть длина биссектрисы p, длина гипотенузы а, СО = q, обозначим так же за Ф половину угла С.

В силу того, что треугольник прямоугольный, медиана АМ равна половине основания, и треугольник СМА равнобедренный. Угол МАС = 2*Ф, поэтому угол МОС = 3*Ф, угол АМВ = 4*Ф. 

Применим теорему синусов к треугольнику МОС

(a/2)/sin(3*Ф) = q/sin(pi - 4*Ф);

кроме того,

а*cos(2*Ф) = p*cos(Ф); (равно катету, который сторона угла ВАС)

Отсюда (просто делим одно на другое)

2*cos(2*Ф)*sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(4*Ф); поупрощаем немного

sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(2*Ф);

sin(Ф)*(3 - 4*(sin(Ф))^2) = (p/q)*2*(cos(Ф))^2*sin(Ф);

3 - 2*(1-cos(2*Ф)) = (p/q)*(1+cos(2*Ф));

cos(2*Ф) = (p/q - 1)/(2 - p/q); покольку угол ВСА и есть 2*Ф, то это ответ.

В случае, если p/q = 13/9 (так задано в условии),

cos(2*Ф) = 4/5;

а, ну да, надо тангенс... 3/4 будет тангенс...

треугольник подобен простейшему пифагоровому (со сторонами 3,4,5) 

Если обозначить за d = q/(p - q); (то есть то самое отношение, которое по условию равно 9/4), то выражение для cos(2*Ф) можно привести к виду

cos(2*Ф) = 1/(d - 1);

что выглядит еще симпатичнее.