Дан прямоугольный треугольник. Соотношение катетов 7/24. От гипотенузы этого прямоугольника проходит перпендикуляр, делящий треугольник на треугольник и четырёхугольник. Отрезок этого перпендикуляра заключённый в изначальном треугольнике равен 14 см. Известно что полученный четырёхугольник можно вписать в окружность. Нужно найти радиус этой окружности.

Я уже решал тут такую задачу, не могу вспомнить номер. 

Условие неоднозначно, ответ зависит от того, какой именно катет пересекает заданный перпендикуляр. Однако в любом случае, поскольку окружность касается трех сторон треугольника, то это - вписанная окружность.

Далее, я не стану каждый раз объяснять, почему отрезки касательных из одной точки до точек касания равны, а буду сразу использовать это, не поясняя (! - нарисуйте чертеж). Кроме того, если касательная параллельна радиусу, то расстояние от ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЭТОГО РАДИУСА до этой (параллельной ему) касательной тоже РАВНО радиусу. Тоже не буду объяснять, а сразу пользоваться.

Обозначим х - некая мера измерения сторон прямоугольного треугольника, так что катеты будут 7*х и 24*х, отсюда сразу гипотенуза 25*х, радиус вписанной окружности r = (a + b - c)/2 = 3*x, отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу - 4*x и 21*x.

Перпендикуляр к гипотенузе, касательный к вписанной окружности, можно провес  ти 2 способами. 

1). Пусть заданный перпендикуляр пересекает МАЛЫЙ катет.

Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с малым катетом, на

4*х - 3*х = х;

Отсеченный треугольник с катетами x и m=14 подобен исходному, то есть

x/m = 7/24; х = 49/12; r = 49/4;

2). Пусть заданный перпендикуляр пересекает БОЛЬШОЙ катет.

Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с БОЛЬШИМ катетом, на

21*х - 3*х = 18*х; (еще раз скажу - я уже объяснил раньше, почему это так! Рисуйте чертеж.)

Отсеченный треугольник с катетами 18*x и m=14 подобен исходному, то есть

18*x/m = 24/7; х = 8/3; r = 8;