в треугольнике АВС биссектрисы АМ и ВК отсекают на сторонах равные отрезки Ак и В М. Докажите, что треугольник АВС-равнобедренный

Соединим точки К и М.

Обозначим для простоты записи

AB = c; BC = a; BM = n; CM = n1; AK = m; CK = m1;

По условию m = n, надо доказать, что a = b;

Из свойств биссектрисы

m/m1 = c/a;

m1 = m*a/c;

n1 = n*b/c; но m = n; отсюда

n1/b = m1/a; 

То есть треугольники СКМ и САВ подобны, КМ II АВ. И более того, АКМВ - равнобедренная трапеция. Поэтому углы при основании равны, значит треугольник равнобедренный. 

Можно про трапецию не упоминать, а сослаться на то, что отрезки, заключенные между параллельными прямыми, пропорциональны. То есть из равенства m = n следует m1 = n1, а значит a = b.