Прямая пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках P и M соответственно. Найдите отношение площади треугольника APM к площади четырехугольника MCBP, если AP:PB=5:4, AM:MC=3:5.

 

Вариант решения. Пусть S - площадь треугольника АВС. Необходимо найти отношение площадей треугольника АРМ и четырехугольника ВРМС. Сделаем рисунок и соединим В и М отрезком ВМ. Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований. Высота ∆ АВМ и ∆ АВС одна и та же. Основания их относятся как АМ:АС = 3:(3+5) ,   Площадь ∆ АВМ равна 3/8 площади ∆ АВС, т.е. ³/₈S На том же основании площадь ∆ АРМ равна 5/9 площади ∆ АВМ ( у них одна и та же высота из М к АВ) и равна ⁵/₉ от ³/₈S Площадь ∆ АРМ=¹⁵/₇₂S=⁵/₂₄SПлощадь четырехугольника ВРМС равна S(ABC) - ⁵/₂₄(S(ABC) =¹⁹/₂₄ S(∆ ABC) Площади ∆ АРМ и четырехугольника ВРМС относятся как (⁵/₂₄S):¹⁹/₂₄ S)=5:19