1.В  четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны. Доказать, что плоскость BMD перпендикулярна прямой SC, где точка M -- середина ребра SC.

2.В треугольной пирамиде SABC, в которой АВ ⊥  ВС, через точку М ребра SB проведено сечение плоскостью, параллельной плоскости АВС. Известно, что АВ=10см, ВС=15 см. Найти площадь этого сечения, если SM:MB=2:3.

1РЕШЕНИЕрисунок прилагаетсяВ  четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны,значит все боковые грани равносторонние треугольникиТак как точка M -- середина ребра SC, то ВМ - медиана, биссектриса, высота в треугольнике BSC  и    ВМ -перпендикуляр  к SCDМ - медиана, биссектриса, высота в треугольнике DSC  и    DМ -перпендикуляр  к SCТРИ точки B,D,M  образуют плоскость  BMD, в которой лежат пересекающиеся прямые (BM) и (DM). Так как  (SC)  перпендикулярна к каждой из прямых (BM) и (DM),следовательно плоскость BMD перпендикулярна прямой SC. ДОКАЗАНО. 2РЕШЕНИЕрисунок прилагаетсяТак как  АВ ⊥  ВС , то основание пирамиды - прямоугольный треугольник ABCплощадь прямоугольного треугольника S(∆ABC)=1/2 АВ*ВС = 1/2 *10*15=75Так как через точку М ребра SB проведено сечение плоскостью, параллельной плоскости АВС, то по теореме Фалеса  эта плоскость делит боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки таким образом, что:∆ASB ~ ∆KSM∆ASC ~ ∆KSN∆BSC ~ ∆MSNподобные треугольники.Искомое сечение ∆KMNПричем если SM:MB=2:3 , то коэффициент подобия k = SM/SB = 3/5В подобных  треугольниках соответствующие стороны пропорциональныKM ~ ABKN ~ ACMN ~ BCтогда ∆KMN ~ ∆ABC  с коэффициентом подобия k =  3/5 .Известно, что площади подобных треугольников относятся, как  k^2 тогдаS(∆KMN) = k^2 * S(∆ABC) = (3/5)^2 * 75 = 27ответ S = 27