Диагонали АС и ВД четырехугольника АВСД пересекаются в точке О. АО=18 см, ОС=12см, ВО=15см, ОД=10см. Докажите, что АВСД - трапеция. 

Рассмотрим треугольники АОВ и  COD:

АО : ОС = 18 : 12 = 3 : 2

ВО : OD = 15 : 10 = 3 : 2

∠АОВ = ∠COD  как вертикальные, значит

∠АОВ подобен ∠COD по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

В подобных треугольниках напротив пропорциональных сторон лежат равные углы, значит

∠ОАВ = ∠OCD, а эти углы - накрест лежащие при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, значит

АВ║CD.

Так как треугольники подобны с коэффициентом 3:2, то АВ ≠ CD, тогда ABCD не является параллелограммом, т.е. две другие стороны у него не параллельны. Значит ABCD - трапеция.