№1
На рисунке 1(он прикреплён)отрезки АВ и CD имеют общую середину О.Докажите,что угол DAO=углу CBO.

№2
Луч AD-биссектриса угла А.На сторонах угла А отмечены точки В и С так,что угол ADB=углу ADC.Докажите , что АВ=АС.

№3
Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС.С помощью циркуля и линейки проведите медиану ВВ₁ к боковой стороне АС.

Ответ:

1. АО = ОВ   и   СО = OD, так как О - середина отрезков АВ и CD,

∠АОD = ∠ВОС как вертикальные, ⇒

ΔAOD = ΔBOC по двум сторонам и углу между ними.

В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, следовательно ∠DAO = ∠CBO.

2. ∠BAD = ∠CAD, так как AD - биссектриса угла А,

∠ADB = ∠ADC по условию,

AD - общая сторона для треугольников ADB и ADC, значит

ΔADB = ΔADC по стороне и двум прилежащим к ней углам.

В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны, значит АВ = АС.

3. Для построения медианы ВВ₁ надо построить середину отрезка АС.

1) Проведем две окружности с одинаковым произвольным радиусом (большим половины стороны АС) с центрами в точках А и С.

Точки пересечения окружностей Е и F.

2) Проведем прямую EF.

Точка пересечения прямой EF и стороны АС - B₁.

В₁ - середина стороны АС.

3) Проведем отрезок ВВ₁.

ВВ₁ - искомая медиана.