Дана трапеция АВСД с основаниями АД = а и ВС = в . Точки М и Н лежат на сторонах АВ и СД соответственно , причем отрезок МН параллелен основаниям трапеции . Диагональ АС пересекает этот отрезок в точке О. Найдите МН, если известно, что площади треугольников АМО и СНО равны

Задачка симпатичная, хотя и простая.

Введем обозначения для краткости записи формул.

АО = m; OC = n; MO = x; OН = y; высоту треугольника АМО, проведенную из вершины А к стороне МО, назовем h1, высоту треугольника ОСН к стороне ОН - h2, высоту трепеции - h;

Тогда из параллельности MH к основаниям следуют соотношения

x/b = m/(m+n);

h1/h = m/(m+n);

x*h1 = b*h*m^2/(m+n)^2;

y/a = n/(m+n);

h2/h = n/(n+m);

y*h2 = a*h*n^2/(m+n)^2;

По условию x*h1 = y*h2; подставляем, получаем

a*n^2 = b*m^2 (с таким же соотношением длин я вчера сталкивался в совершенно другой задаче :)))

n/m = корень(b/a);

x = b/(1+n/m) = b*корень(a)/(корень(a)+корень(b));

y = a*(n/m)/(1+n/m) = a*корень(b)/(корень(a)+корень(b));

складываем, выносим корень(a*b) за скобки, остальное сокращается.

Ответ МН = корень(a*b);