Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.
- Предмет:
  Геометрия
- Автор:
  carina8ptg
- 6 лет назад

Ответы 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\tt SOK$ , в нём $\tt \angle SKO=45а$ , значит $\tt \angle OSK=90а-\angle SKO=90а-45а=45а$ , следовательно, треугольник $\tt SOK$ - равнобедренный прямоугольный треугольник: $\tt SO=OK=h$
$\tt OK-$ радиус вписанной окружности основания. Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный треугольник $\tt ABC$
$\tt r=OK=\dfrac{AC}{2\sqrt{3}} ~~\Rightarrow~~ AC=2r\sqrt{3} =2h\sqrt{3}$
Площадь основания: $\tt S_{oc_H}=\dfrac{AC^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{(2h\sqrt{3})^2\cdot \sqrt{3}}{4}=3h^2\sqrt{3}$ кв. ед.
$\tt SK=\sqrt{SO^2+OK^2}=\sqrt{h^2+h^2}=h\sqrt{2}$ - апофема.
Площадь боковой поверхности: $\tt S_{bok}=\dfrac{1}{2}\cdot P_{oc_H}\cdot SK= \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot2h\sqrt{3} \cdot h\sqrt{2} =3h^2\sqrt{6}$ кв.ед.
Площадь полной поверхности: $\tt S=S_{oc_H}+S_{bok}=3h^2\sqrt{3}+3h^2\sqrt{6}=3h^2\sqrt{3}\left(1+\sqrt{2}ight)$ кв. ед.
Ответ: $\tt3h^2\sqrt{3}\left(1+\sqrt{2}ight)$ кв.ед..
- Автор:
  cameronjkbt
- 6 лет назад
- 0
ДАНО: SАВС - правильная треугольная пирамида ; SD = h ; линейный угол двугранного угла ABCS равен 45°.НАЙТИ: S пол. пов. пирамиды ______________________________РЕШЕНИЕ:1) Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, лучи которого лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру.В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник, то есть ∆ АВС – равносторонний В ∆ АВС опустим высоту АН на ВСВ равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой → ВН = СНотрезок SD ( высота пирамиды ) перпендикулярен плоскости основания ∆ АВСЕсли прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости →SD перпендикулярен АНАН перпендикулярен ВСЗначит, SH перпендикулярен ВС по теореме о трёх перпендикулярахИз этого следует, что угол SHА – линейный угол двугранного угла АВСS, то есть угол SHА = 45°2) Рассмотрим ∆ SHD (угол SDH = 90°):Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90°угол HSD = 90° - 45° = 45°Значит, ∆ SHD – прямоугольный и равнобедренный , SD = DH = hПо теореме Пифагора:SH² = SD² + DH²SH² = h² + h² = 2h²SH = h√2Как было сказано выше, высота, проведённая в равностороннем треугольнике, является и медианой, и биссектрисойМедианы любого треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершиныСледовательно, AD : DH = 2 : 1 →AD = 2 × DH = 2hAH = AD + DH = 2h + h = 3hСторона равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $a = \frac{2 \sqrt{3}h }{3}$ где а - сторона равностороннего треугольника, h - высотаBC = ( 2√3 × AH ) / 3 = ( 2√3 × 3h ) / 3 = 2√3hS пол. пов. пирамиды = S осн. + S бок. пов.В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны друг другу →S пол. пов. пирамиды = S abc + 3 × S bcs Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $s = \frac{ {a}^{2} \sqrt{3} }{4}$ где а - сторона равностороннего треугольникаS пол. пов. пирамиды = $= \frac{ {(2 \sqrt{3}h )}^{2} \sqrt{3} }{4} + 3 \times \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3}h \times h \sqrt{2 } = \\ \\ = 3 \sqrt{3} {h}^{2} + 3 \sqrt{6} {h}^{2} = 3 \sqrt{3} {h}^{2} (1 + \sqrt{2} )$ ОТВЕТ: 3√3h² × ( 1 + √2 )
- Автор:
  burnett
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ