известно, что в равнобедренную трапецию площадью 576 можно вписать окружность. Если расстояние между точками касания окружности боковых сторон равно 3, то радиус ее равен

Хорошая задачка, ответ смешной.

СМ ЧЕРЕЖ.

Дополнительно к рисунку

Обозначим середину ВС  - N; середину  КМ - Т, центр окружности О.

ВЕ перпендикулярна АD; 

Ясно, что высота трапеции равна 2*R; 

По свойству описанных 4-угольников средняя линяя трапеции ранва боковой стороне, обозначим её за с; тогда площадь равна S = (4*c)*R/2 = 2*R*c;

треугольник КТО подобен треугольнику АВЕ - оба прямоугольные и

угол ВАE = угол OKT; (их стороны перпендикулярны). 

Если обозначить КМ = d, то

2*R/c = (d/2)/R; (2*R)^2/d = c;

Отсюда S = (2*R)^3/d;

R = (1/2)*коркуб(S*d); (корень кубический)

подставим S = 576, d = 3, получим R =  (1/2)*(1728)^(1/3) = 6;