Равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС вписан в окружность с центром О. Площадь треугольника АВС равна 9 корней из 2, угол А=45 градусов. Прямая, проходящая через точку О и середину АС, пересекает сторону ВА в точке М. Найдите площадь треугольника ВМС.

Сначала найдем боковую сторону а = АВ = АС.

2*S = a^2*sin(45); 18*корень(2) = a^2*корень(2)/2; a = 6.

Пусть середина АС - К. Тогда ОК перпендикулярно АС (центр описанной окружности равноудален от концов АС, поэтому лежит на перпендикуляре из середины АС...)

Поэтому АК = 3 и треугольник АКМ прямоугольный равноберенный (угол 45 при основании), то есть МК = 3, АМ = 3*корень(2); CM = 6 - 3*корень(2); 

Треугольники ВСМ и ВАС имеют общую вершину и высоту из этой вершины, поэтому

SBCM = S*MB/AB = 9*корень(2)*(1 - корень(2)/2) = 9*(корень(2) - 1);