Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Отрезок OP - медиана треугольника AOD. На отрезках AO и OP как на сторонах построен параллелограмм AOPT. Известно, что AC=16 см, BD= 12 см. Вычеслите косинус угла между диогоналеми параллелаграма AOPT. 

Ответы 2

  •                        Решение : //////////////////////////////////////

    answer img

  • Т.к. диагональ AP параллелограмма AOPT разбивает его на два равных треугольника, то

    S_{AOPT}=2*S_{AOP}

    Т.к. OP - медиана в ΔAOD, то она разбивает его на два равновеликих треугольника ⇒

    S_{AOD}=2*S_{AOP}

    Отсюда:

    S_{AOPT}=S_{AOD}

    Площадь прямоугольного треугольника найдем как полупроизведение катетов, которые являются половинами диагоналей ромба (точка O делит диагонали ромба пополам:

    AO=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8\\OD=\frac{BD}{2}=\frac{12}{2}=6

    S_{AOPT}=S_{AOD}=\frac{AO*OD}{2}=\frac{8*6}{2}=24

    Из прямоугольного ΔAOD найдем его гипотенузу:

    AD=\sqrt{AO^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10

    Т.к P - середина стороны AD, то AP = AD / 2 = 10 / 2 = 5

    Для параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

    AP^2+OT^2=2(OP^2+AO^2)\\5^2+OT^2=2(5^2+8^2)\\OT^2=50+128-25=153\\OT=3\sqrt{17}

    Площадь параллелограмма равна также полупроизвведению диагоналей на синус угла между ними:

    S=\frac{1}{2}*AP*OT*\sin{\widehat{OEP}}\longrightarrow\\\sin{\widehat{OEP}}=\frac{2*S}{AP*OT}=\frac{2*24}{5*3\sqrt{17}}=\frac{16}{5*\sqrt{17}}

    По основному тригонометрическому тождеству найдем косинус угла между диагоналями по известному синуса угла:

    \cos{\widehat{OEP}}=\sqrt{1-\sin^2{\widehat{OEP}}}=\sqrt{1-(\frac{16}{5*\sqrt{17}})^2}=\sqrt{1-\frac{256}{25*17}}=\sqrt{\frac{25*17-256}{25*17}}=\sqrt{\frac{25*17-256}{25*17}}=\frac{13}{5\sqrt{17}}

    answer img

    • Автор:

      raimundo
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years