С-4 ЕгЭ

Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой плоский угол при вершине равен 90 град, а расстояние между боковым ребром и противоположной стороной основания равно d.

РЕШЕНИЕ и РИСУНОК

По условию, BS ┴SA  и BS ┴SC , т.е. BS -перпендикуляр к грани SAC и SD = d.

Следовательно, искомый объем  V=1/3*S(ACS)*BS.

В треуг. SAD  имеем  <SDA =90, <ASD =45, откуда AD=SD=d  и S(ACS) = d^2.

Далеe, в треуг.BSD  имеем  <BSD =90, BD=2d*√3/2=d√3 ,

откуда BS=√(BD^2-SD^2)=√(3d^2-d^2)=d√2.

Окончательно находим  V=1/3*d^2*d√2=1/3*d^3√2

Ответ V=d^3√2/3

По условию, BS ┴SA  и BS ┴SC , т.е. BS -перпендикуляр к грани SAC и SD = d.

Следовательно, искомый объем  V=1/3*S(ACS)*BS.

В треуг. SAD  имеем  <SDA =90, <ASD =45, откуда AD=SD=d  и S(ACS) = d^2.

Далеe, в треуг.BSD  имеем  <BSD =90, BD=2d*√3/2=d√3 ,

откуда BS=√(BD^2-SD^2)=√(3d^2-d^2)=d√2.

Окончательно находим  V=1/3*d^2*d√2=1/3*d^3√2