В окружности проведены три попарно соединяющиеся хорды. Длина одной из них равна а. Точки пересечения делят каждую хорду на три части, средняя из которых в два раза больше каждой из двух остальных частей. Найдите радиус окружности.

Простым перемножением длин отрезков легко показать, что все хорды равны. Отсюда сразу следует, что углы между ними 60 градусов. "Средние" части хорд (у которых длина а/2) образуют равносторонний треугольник. Из соображений симметрии понятно, что центр этого треугольника совпадает с центром нашей окружности (а где еще могут пересекаться перпендикуляры через середины "СРЕДНИХ" ЧАСТЕЙ :))) Нас интересует расстояние до хорды, которое равно радиусу окружности, вписанной в этот треугольник, то есть d = a*корень(3)/12; (напоминаю, что треугольник имеет стороны a/2)

Теперь, зная расстояние от хорды длины а, мы можем вычислить радиус.

R^2 = (a/2)^2 + d^2 = a^2*(1/4 + 3/144) = a^2*39/144; R = a*корень(39)/12;