Через точки A и B, лежащие на диаметре окружности с центром в точке O, проведены касательные. Через точку K, лежащую на окружности, проведена касательная, которая пересекает первые две касательные в точках L и N. Докажите, что треугольник NOL-прямоугольный.

Соединим точки А и В диаметра друг с другом, а также точку О с точками  L и N. Опустим перпендикуляр ОК из точки О на касательную LN. Обозначим угол ВNО = al, а угол АLO = be.

Тр-ки ОNB и ОКВ равны, т.к. они прямоугольные (уг. OBN = уг. ОКN = 90гр.), у них общая гипотенуза ОN, а катеты OB = ОК и равны радиусу окружности.

Тогда уг.ВNО = уг.КNО = al.

Аналогично для тр-ков ОAL и  ОКL:  уг.ALO = уг.КLО = be.

В тр-ке LON сумма углов уг.КLО + уг.КNO =  al + be, уг.LON =180 - (al + be)

Рассмотрим углы при точке О: уг. KON = 90-al,  уг.KOL = 90-be, а уг.LON =180 -( уг. NOB + уг.LOA) = 180-(90-al)-(90-be) = al + be.

Итак получили: уг.LON =180 - (al + be) и уг.LON = al + be.

180 - (al + be) = al + be и 2(al + be) = 180. Откуда al + be =90гр.

И уг.LON = al + be = 90гр., т.е. тр-к LON - прямоугольный.