Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро SA=5, сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM, где M – середина ребра SC.

см чертеж, там все обознавчения и построенное сечение.

АD II ВС, поэтому ВС II плоскости ADM, поэтому NM II BC, и NM средняя линяя тр-ка SBC. Все это пока касается построения. а вот уже по существу.

Раз ВС II плоскости ADM, можно взять любую точку на ВС и вычислить её расстояние до ADMN. 

Делаем вертикальное сечение SKP через высоту SO и KP, соединяющий середины противоположных сторон квадрата (см, чертеж). Е - середина SP (а всё  - средняя линяя MN:)).

СОВЕРШЕННО ОЧЕВИДНО, что если провести из точки Р перпендикуляр на КЕ, мы получим ответ задачи.  

Треугольник SKP равнобедренный, основание КР = 2, боковые стороны SK = SP = корень(5^2 - 1^2) = 2*корень(6); 

Задача свелась к тому, чтобы найти расстояние от точки Р до медианы КЕ.

Высота SO равна корень(24 - 1) = корень(23);

ясно, что высота треугольника KEP из точки Е к КР равна корень(23)/2;

осталось вычислить длину медианы КЕ.

по теореме косинусов для SPK 

b^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(K); K - угол при основании SKP. 

для медианы (2*КЕ)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(K) = 2*a^2 + b^2 = 32;

КЕ = 2*корень(2); (любопытно, что это равно АС)

НУ и наконеЦ!!

2*корень(23)/2 = x*2*корень(2); (это площади треугольника КЕР записаны разным способом)

х = корень(23/2)/2; это примерно 1,6957

Можно было бы и числа подобрать поприятнее :(((

ЗЫ. А где это такие задания дают школьникам? чего то я не нашел тут простого пути, тут все надо по ходу использовать. И вряд ли я ошибся где - все проверяется, скажем высота SO = корень(23) получается и из самой пирамиды, и не похоже, что было задумано иначе :)))