в треугольнике ABC BM-биссектриса. Площади треугольников ABM и CBM относятся как 1:3, AB=4см. Найдите стороны треугольника.

Если площади тр-ков АВМ и СВМ относятся как 1:3, то и основания этих тр-ков АМ и СМ относятся как 1:3, потому что высоты у этих тр-ков одинаковы, а площадь тр-ка рана половине произведения основания на высоту. Обозначим х = АМ, тогда СМ = 3х.

Обозначим углы: уг.АВМ = уг.СВМ = алфа, уг. АМВ = бета, уг.СМВ = 180 - бета.

Рассмотрим тр-к АВМ: по теореме синусов sin алфа / х = sin бета / 4, откуда

sin алфа / sin бета = х/4     (1)

Рассмотрим тр-к СВМ: по теореме синусов sin алфа /3х = sin (180-бета) / ВС. Поскольку sin (180-бета) = sin бета , то sin алфа / sin бета = 3х/ВС     (2)

Приравняем правые части равенств (1) и (2)

х/4 = 3х/ВС, откуда ВС = 12

Используем неравенство треугольника для тр-ка АВС: сумма двех сторон всегда больше третьей стороны:

АВ + ВС > АС или 4+12 > 4х, получаем х < 4  (3)

АВ + АС > BC или 4 + 4х > 12 , получаем х > 2 (4)

Итак,  2<x<4. Принимаем х = 3, тогда 3х = 9 и АС = 4х =12

Ответ: ВС= АС = 12