Длины двух сторон треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30 градусов. В этот угол вписали окружность, центр которой находится на третьей стороне трегуольника. Найдите радиус этой окружности.

Обозначим треугольник АВС. АВ=4, ВС=5. О центр окружности на АС. Соединим точки О и В. Из точки О проведём перпендикуляры (радиусы) ОМ на АВ и ОК на ВС. (ОК на продолжении АВ).  Площадь треугольника АВС равна S авс=1/2*АВ*ВС*sin30=1/2*4*5*1/2=5.   Площадь этого треугольника равна сумме площадей треугольников АВО и СВО. То есть Sавс=1/2АВ*ОМ+1/2ВС*ОК, или 5=1/2*4*R+1/2*5*R.   5=4,5R. То есть R=10/9.