Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой ВС и вершиной А, высота АD=6; Катет АС=10. Найти ВD и cos C.

Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник  на два, ему подобных.

В одном задана АС (гипотенуза ЭТОГО) треугольника, и высота AD = 6 (один из катетов в ЭТОМ треугольнике). Значит второй катет 8, и вообще, треугольник египетский (6; 8; 10). Это означает, что и АВС, и ABD - тоже египетские треугольники, подобные (3; 4; 5). 

cos(C) = 4/5; 

Треугольник ABD имеет стороны (4,5; 6; 7,5) (подобие и один из катетов 6). 

Значит BD = 4,5;

Можно найти и все остальные размеры, по тому же принципу

Пишем (   ;    ;    ), на втором месте ставим известный катет 10 (он должен стоять именно там, малый катет лежит напротив С),

получается (    ; 10;    ), сравниваем с (3; 4; 5) и расставляем числа на пустые места, чтобы сохранить пропорцию 5/2 ( 7,5; 10; 12,5) :)

Конечно, это все игра - но полезная и веселая, и часто помогает быстро найти ответ. Хотя все это можно было бы получить, просто используя полученное значение cos(C) = 4/5, откуда sin(C) = 3/5; tg(C) = 3/4 и так далее...