1)в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, докажите что данный четырёхугольник ромб

 

2)В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла В пересекает сторону AD в точке F. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 12 и AF: FD = 4:3. 

1) Четырёхугольник составлен из 4-х равных прямоугольных тр-ков .Докажем это:

     АО = ОС

     ВО = ОD ( по условию), тогда ΔАОВ = ΔВОС =ΔСОD = ΔAOD ( по двум катетам). 

     Таким образом , АВ=ВС=СD=AD.

2) !!!  Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

   Докажем, что АВСD -параллелограм:  

   Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. ( признак 3)

 Из условия следует: АС ∩ ВD =О и 

     АО = ОС 

     ВО = ОD. Следовательно АВСD -  параллелограмм.

  Таким образом АВСD - ромб. Что и треб. доказать.( см. рис.)

2. !!! Правило: биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный тр-к

  ( см.рис), тогда АF = AB = 12 см.

   Учитывая, что AF/ FD = 4/3, получим 12/ FD = 4/3,

                                                              4FD = 36

                                                               FD = 9 cм,

 т.о.  AD = 12 +9 = 21 ( cм).

Значит , Р = 2·(АВ  + АD ) = 2·(12 + 21) = 66 (cм).