В треугольнике АBC высота CH и медиана CK делят угол ACB на 3 равных угла. Площадь ABC равна 1.5 + корень из 3. Найти радиус вписанной окружности

Легко видеть, что треугольник АВМ равнобедренный (в нем высота ВН является биссектрисой угла АВМ), и АН = НМ. Конечно же, НМ = МС/2, поскольку ВМ - медиана АВС. В прямоугольном треугольнике НВС (смотри чертеж) ВМ - биссестриса. Поэтому ВН/ВС = НМ/МС = 1/2; 

Это означает, что угол АСВ = Ф = 30 градусов.

Отсюда моментально - угол НВС = 60 градусов,

угол МВС = угол МВН (и = угол АВН, конечно) = 30 градусов.

Поэтому угол АВС - прямой. Угол ВАН = 60 градусов.

конечно же, (см. обозначения на чертеже, немного нестандартно:  b - гипотенуза АВС, с - малый катет, а - большой) b = 2*с, а = с*корень(3).

Площадь S = c^2*корень(3)/2. 

По условию S = 3/2 + корень(3); 

Приравнивая, находим с, отсюда, конечно, а и b, и потом r = (a + c - b)/2; (напомню, что b - гипотенуза).

Далее я не стану приводить выкладки - в условии явно ошибка, площадь должна быть 3/2+ корень(3)/2. Тогда с = 1/2, b =1, a = корень(3); r = 3/4 - корень(3)/2;

А так там просто необозримые корни. Вы тогда сами досчитайте :)))