Сторона правильного шестиугольника а1а2а3а4а5а6 равна корень из 2^3+3.  Биссектриса угла а6а2а3 пересекает сторону а4а5 в точке О. Найти площадь треугольника  а2а5О

 Продлим а2а3 за а3 до пересечения с а4а5 (с его продолжением за точку а4), и проведем а2а6, продлим его за точку а6 до пересечения с тем же а4а5 (с его продолжением за точку а5).

Смотрим на полученный треугольник :))) Это - прямоугольний треугольник (прямой угол в вершине а2), один угол 60 градусов (это угол между продолжениями а1а2 и а4а5), прилежащий к нему катет 2*а (а - сторона шестиугольника, половина этого катета - сторона шестиугольника а2а3). а5а5 в этом треугольнике - медиана к гипотенузе, а а2О - биссектриса прямого угла. Гипотенуза равна 4*а, а второй катет 2*а*корень(3);

Нам задано практически всё, что надо, для того чтобы вычислить площадь треугольника а5а2О. Обозначим за х = а5О,

Тогда из свойства биссектрисы 

(2*a + x)/(2*a - x) = корень(3), откуда находим х, 

х = 2*а*(корень(3) - 1)/(корень(3) + 1);

Высота треугольника а2а5О 

h = 2*a*корень(3)/2;

Откуда искомая площадь

S = (1/2)*(2*а)^2*(корень(3)/2)*(корень(3) - 1)/(корень(3) + 1) =

= a^2*(2*корень(3) - 3)/4;

я не буду вычислять, что получится, если подставить а = корень из 2^3+3, похоже, тут ошибка в условии, впрочем, дерзайте :)))