Высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла, один из которых вдвое больше другого. Докажите, что эта высота делит гипотенузу в 3:1

 

1. Пусть угол АСН равен х, тогда угол НСВ, вдвое его больший, равен 2х. Зная, что сумма этих углов равна 90°, запишем:х + 2х = 903х = 90х = 30Значит, < АСН = 30°, < НСВ = 30*2 = 60°2. В прямоугольном треугольнике СНВ находим угол В:<В = 180 - <HCB - < CHB = 180 - 60 - 90 = 30°3. Зная, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, можно записать:АН = 1/2АС (в треугольнике АНС), АС = 1/2АВ (в треугольнике АВС), отсюда АВ = 2АС.4. Выразим НВ:НВ = АВ - АН = 2АС - 1/2АС = 3/2АС5. Запишем отношение НВ к АН:НВ/АН = 3/2АС : 1/2АС = 3/1