,Высота треугольника разбивает его основание на 2 отрезка с длинами 8,9.

Найти длину  высоты, если известно, что другая высота делит ее пополам)

Если построить окружность на стороне АВ, как на диаметре, то основания высот М и Н будут лежать на ней. Из этого следует соотношение (см чертеж)

(x + y)*x = 9*(9 + 8);

(я намеренно буду тащить это в таком виде до конца, как ни странно, это упрощает вычисления). Из подобия прямоугольных треугольников ВОМ и ВНС

(x + y)/h = (h/2)/y; (x + y)*y = h^2/2;

Складываем эти 2 равенства, получаем

x^2 + x*y + x*y + y^2 = h^2/2 + 9*(9 + 8);

Из теоремы Пифагора

h^2 + 9^2 = (x + y)^2;

Поэтому

h^2/2 + 9*(9 + 8) = h^2 + 9^2;

h^2/2 = 9*8; h = 12.