Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

1. Надо построить биссектрису угла О (рис. 1).

Для этого проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла. В и С - точки пересечения этой окружности со сторонами угла.

Затем проведем две окружности такого же радиуса с центрами в точках В и С. К - точка пересечения этих окружностей.

ОК - биссектриса угла.

2. Строим прямую, перпендикулярную ОК и проходящую через точку А (рис. 2).

Для этого проведем окружность с центром в точке А и таким радиусом, чтобы окружность пересекла луч ОК в двух точках.  Это точки М и N.

Затем проведем еще две окружности с центрами в точках М и N того же радиуса. Они обе пройдут через точку А. Вторую точку их пересечения обозначим Р.

Через точки А и Р проведем прямую, которая пересечет стороны угла в точках Е и F.

Прямая EF - искомая.

Доказательство:

ОК - биссектриса угла О по построению, ОК⊥EF по построению. Тогда в треугольнике OEF биссектриса совпадает  с высотой, значит он равнобедренный, т.е. OE = OF. Значит прямая EF - искомая.