основание равнобедренного треугольника равно 10, боковая сторона равна 13. отрезок с концами на боковых сторонах треугольника параллелен основанию и делится окружностью, вписанной в треугольник, в отношении 1:8:1. найдите длину этого отрезка.

Я не нашел простого решения, хотя сам факт, что одно из возможных решений - средняя линяя, наводит на мысль, то простое решение есть.

Начнем с того, что если мы проведем высоту ВН (см чертеж), то получим два Пифагоровых треугольника со сторонами 5,12 и 13, приставленных друг к другу катетами 12. То есть ВН = 12. 

Следуя правилу избегать шаблонов, вычислим радиус вписанной окружности r = ОН, используя свойство биссектрисы АО.

ОН/ОВ = АН/АВ => OH/BH = AH/(AH+AB); откуда r = 10/3; само собой ОВ = 26/3;

Теперь перейдем к построению искомого отрезка. 

Самый простой способ - отложить от вершин А и С отрезки, равные 1, и соединить полученные точки с В. Получится две секущие. Через точки пересечения этих секущих прямых с окружностью проводим прямые II AB. Это и будут решения, поскольку пропорциональность отрезков гарантируется :))). Теперь нам отчетливо видно, что решений ровно два. Уже из чертежа видно несколько вариантов КОНКРЕТНОГО вычисления длин этих отрезков. Однако все эти способы совершенно непрозрачны, и потому, даже получая верный результат, испытываешь некоторое неудовлетворение.

Поэтому я вычислил ТАНГЕНС угла между построенной секущей и  ВН (он равен 4/12 = 1/3)

и перешел к чертежу 2.

Самый простой способ получения ПОНЯТНОЙ системы уравнений для этой задачи - это написать уравнения окружности и прямой и вычислить координаты их пересечения. Поскольку "уравнение окружности" - ничто иное, как простая теорема Пифагора, а  уравнение прямой y = x/3 понятно нынче в начальной школе, ничего сложного в представленной на чертеже системе нет. Тут важно только понять, что нас интересуют не x и y, а 5*y/2 :)))

Итак

помещаем 0 в точку В и выбираем прямую ВН за ось X. Ось Y, конечно же, перпендикулярна оси X и проходит через точку 0 (то есть В). Тогда для каждой точки окружности с центром в точке x0 = (26/3; 0) и радиусом r = 10/3; справедливо равенство

(x - 26/3)^2 + y^2 = (10/3)^2; (это просто теорема Пифагора :))

Для точек секущей

у = x/3; подставляем x = 3*y; в уравнение окружности,

и отсюда сразу получается квадратное уравнение на y :)

(3*y - 26/3)^2 +y^2 = (10/3)^2;

или, после упрощений

y^2 - 5,2*y + 6,4 = 0; 

(Этот способ технически безупречен :), видно на каждом шаге, откуда и что получается.)

y1 = 2; y2 = 3,2; 

Вспоминаем про 5/2, и ответ

5 или 8.

5 - это средняя линяя, размер 8 тоже встречается в задаче - это ВР. Довольно странно, поскольку пропорция в задаче выглядит случайной.