В прямоугольном треугольнике ABC угол между биссектрисой CK и высотой CH ,проведенными из вершины прямого угла C,равен 15 градусов.Сторона AB=12 cм.Найдите сторону BC,если известно,что точка K лежит между A и H.

Так как СК - биссектриса угла АСВ, то угол ВСК = углу КСА = 45 градусов.

При этом угол ВСК равен сумме углов ВСН и НСК. Известно, что угол НСК равен 15 градусам. Следовательно, угол ВСН=уголВСК-уголНСК= 45-15=30 градусов.

Так как угол ВНС прямой (СН высота треугольника АСВ), то по сумме углов треугольника СВН, угол СВН= 180-90-30=60 градусов. 

Угол ВАС треугольника АВС в соответсвии с этим равен 180-90-60=30 градусов.

По свойству прямоугольного треугольника, в котором напротив угла, равного 30 градусов лежит катет, длина которого равна половине длины гипотенузы.

Следовательно, ВС=½АВ=6 см.

Ответ: ВС=6 см 

15 = 45 - угол НСВ; угол НСВ = 30 градусов; угол НСВ = угол САВ; ВС = АВ/2 = 6

Что-то мне подсказывает, что угол НСВ = угол САВ. Что-то вроде подобия треугольников.... Что-то мне подсказывает, что угол КСВ = 45 градусов, уж не определение биссектрисы ли? (Ли - известный китайский ученый, придумал биссектрису ли). И что-то мне подсказывает, что если от 45 отнять 15, то получится 30.

Есть нечто сакраментальное (сакрально-ментальное, то есть тайнодуховное, а может, и чакра-ментальное...) в том, что точка К лежит ближе к А, чем Н. Не знаю, правы ли космические силы, но говорят они мне, что обозначил правильно вершины треугольника я и вычислил угол против катета СВ, 30 равный градусам.

В прямоугольном треугольнике же катет, против угла 30 градусов лежащий, равен гипотенузной половине, в сантиметрах выраженной. 

Ну, отметил :))) бывает :)))