Основание пирамиды-равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом a.Боковая грань, содержащая гипотенузу основания,перпендикулярна к плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом бетта. а)докажите, что высота пирамиды проходит через середину гипотенузы основания. б)найдите высоту пирамиды.

а) Если боковая грань перпендикулярна основанию, то высота лежит в этой грани.

Значит основание высоты - точка Н - лежит на гипотенузе.

Проведем из точки Н перпендикуляры НК и НМ к катетам АС и ВС.

НК и НМ - проекции наклонных SK и SM на плоскость основания, значит SK⊥AC и SM⊥BC по теореме о трех перпендикулярах. Тогда

∠SKH = ∠SMH = β - углы наклона боковых граней к плоскости основания.

Треугольники КSH и МSH прямоугольные, катет SH общий, и равны углы, противолежащие этому катету, значит

ΔКSH = ΔМSH по катету и противолежащему острому углу, ⇒

КН = МН, значит   СМНК - квадрат, СН - его диагональ, значит и биссектриса треугольника АВС. А так как треугольник равнобедренный, то и медиана, ⇒АН = ВН.

б) КН - средняя линия ΔАВС, так как проходит через середину АВ и параллельна ВС.

КН = а/2.

ΔSKH: tgβ = SH / HK

           SH = HK · tgβ = a/2 · tgβ