В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) длина средней линии MN равна 6 (М принадлежит АВ, N принадлежит ВС), а синус угла ВАС равен 4/5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник MBN.

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) длина средней линии MN равна 6 (М принадлежит АВ, N принадлежит ВС), а синус угла ВАС равен 4/5. Найдите радиус окружности, вписанной в ∆ MBN.

------

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.

Следовательно, ∆ MBN подобен ∆ АВС, т.к. их углы равны, и 

sin∠ВМN =sin∠BAC=4/5. 

Опустим из В высоту ВН на MN. Высота равнобедренного треугольника - его медиана и биссектриса. МН=3

ВМ=МН:cos∠BMH

cos²∠BMH=1-sin²∠BMH=1-16/25

cos ∠BMH=√16/25=3/5=0,6

АВ=3:0,6=5, ⇒ BN=5 

Формула радиуса вписанной окружности 

r=S/p, где S- площадь треугольника, р- его полупериметр. 

S=AB*МН•sin ∠BMH=5•6•0,8:2=12 

p=(6+2•5)/2=8

r=12:8=1,5 (ед.длины)

----------

Как вариант решения можно по т.Пифагора вычислить 

длину ВН=4, площадь  ∆ BMN по формуле S=ah. 

Радиус r - по формуле радиуса окружности,  вписанной в равнобедренный треугольник ( она дана в приложенном рисунке)