На высоте AH равнобедренного треугольника ABC с прямым углом А взята точка О. Докажите что треугольнике AOB и AOC равны

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны 45 градусов. 

Высота, проведенная к гипотренузе, является еще и медианой и биссектрисой.

Угол А делится на два равных угла по 45 градусов.

Гипотенуза делится на ВН=НС

Углы при пересечении высоты с гипотенузой прямые.

По условию задачи АВ=АС.

Высота АН - общая для обоих треугольников. 

Треугольники АВН и АСН равны по равенству как всех трех углов, так и равенству трех их  сторон.