Постройте прямоугольный треугольник по катету и проекции другого катета на гипотенузу

Пусть нам заданы катет а и проекция q катета b на гипотенузу с.

Если угол между b и с обозначить Ф, то

b = q/cos(Ф); c = b/cos(Ф) = q/(cos(Ф))^2 = q/(1 - (sin(Ф))^2) = q/(1 - (a/c)^2);

c - a^2/c = q; это легко приводится к виду

с*(с - q) = a^2;

вот именно это и было нужно :))) теперь совершенно очевидно, как построить с, если заданы отрезки q и а.

На отрезке q, как на диаметре, строится окружность (центр - в середине q, радиус q/2), и в одном из концов q проводится препендикуляр к q (касательная к окружности), на котором от точки касания откладывается отрезок а. через полученную точку (ну, назовем её как-то, пусть М) и середину q (центр окружности), проводится секущая, отрезок от М до дальней точки пересечения с окружностью и есть -  с, гипотенуза треугольника.

Теперь по заданным с и а построить треугольник не сложно - строим прямой угол, на одном луче откладываем а и из полученной точки проводим окружность радиуса с до пересечения со вторым лучом.

Можно и так - построить на с как на диаметре окружность, и в одном из концов поместить центр окружности радиуса а, полученную точку пересечения окружностей соединить с концами с... это уже детали :)))