1. Найдите расстояние между вершиной A1 и плоскостью AB1D1 куба A...D1, если ребро куба равно а.

2.В правильной треугольной призме со стороной основания а и боковым ребром b найдите расстояние между скрещивающимися ребрами.

3. Для куба A...D1 с ребром а найдите расстояние между скрещивающимися прямыми: а) AD и A1C1 б) AC1 и DD1 в) AD и A1B1 г) AC и B1D1 д) AC и DD1 е) AC1 и BD 

1. Для того, чтобы найти расстояние рассмотрим пирамиду А1АВ1D1 (A1-вершина)

Основание - правильный треугольник

Сторона треугольника=диагональ грани куба=а*кореньиз2

Находим высоту треугольника по теореме Пифагора: (а*кореньиз3)/кореньиз2

Находим площадь треугольника: S=(а^2*кореньиз3)/2

Объем рассматриваемой пирамиды=1/4 объема куба

Нaйдем объем куба: Vк=a^3

Найдем объем пирамиды: V=а^3/4

По формуле объема пирамиды находим высоту пирамиды. Она и будет искомым расстоянием

V=1/3*h*S

h=((3* а^3)/4)/((а^2*кореньиз3)/2)=(а*кореньиз3)/2

Ответ: (а*кореньиз3)/2  

2. Я так думаю, что искомое расстояние - это высота правильного треугольника, лежащего в основании

По теореме Пифагора его находим (странно - ответ получился такой же как и в предыдущей задаче)

Ответ:   (а*кореньиз3)/2  

3. а) рассматриваем трапецию АА1С1D:

АД=а, С1Д=а*кореньиз2, А1С1=а*корень из2

Искомое расстояние ДК-высота трапеции

КС1=(кореньиз2 - 1)*а

По т. Пифагора из треугольника КС1Д находим:

h=а*кореньиз(2*кореньиз2 -1)

как-то так))

д) Искомое расстояние=половине диагонали грани=(а*кореньиз2)/2