В прямоугольном параллелепипеде периметр двух боковых граней 24см 32см.Вычислите объем параллелепипеда,имеющего наибольшую боковую поверхность.

Pаа₁b₁b = 2(b + c) = 24

Paa₁d₁d = 2(a + c) = 32

b + c = 12

a + c = 16

b = 12 - c

a = 16 - c

Sбок = Pосн · c = 2(a + b) · c = 2(16 - c + 12 - c) · c = 2c(28 - 2c)

Sбок = 56c - 4c²

Рассмотрим зависимость площади боковой поверхности от высоты как функцию:

f(c) = 56c - 4c²

Надо найти точку максимума этой функции.

Можно найти просто проанализировав функцию: квадратичная, график - парабола, ветвями вниз, точка максимума - абсцисса вершины параболы:

с₀  = - 56 / (- 8) = 7

Итак, при с = 7 см площадь боковой поверхности максимальная.

Вернемся к системе:

b = 12 - 7 = 5 см

a = 16 - 7 = 9 см

V = abc = 5 · 9 · 7 = 315 см³