Диагонали АС и BD трапеции АВСD пересекаются в точке О. Площади
треугольников АОD и ВОС равны соответственно 25 см^2 и 16 см^2. Найдите площадь трапеции.

ясно, что диагонали делятся в точке пересечения в отношении 4/5, считая от малого основания. Таким образом, стороны АО и OD составляют 5/9 от длин диагоналей, которым принадлежат. 

Для получения удовольствия от чисто геометрического решения проведем из С прямую II BD до пересечения с AD (обозначим точку Е) Треугольник АСЕ имеет ту же площадь, что и трапеция, поскольку его основание равно АЕ = AD + DE = AD + ВС, а высота у них общая - расстояние от С до AD.  Треугольник ACE подобен AOD (по построению!) и отношение сторон у них равно 9/5. Следовательно площадь ACE (то есть площадь трапеции ABCD) равна (9/5)^2*25 = 81.