Докажите, что расстояние от вершины треугольника до любой точки противолежащей стороны меньше половины периметра треугольника.

1) Очевидно, что полупериметр больше длинны любой из сторон, в том числе бОльшей из них. (Если длина бОльшей стороны совпадает с полупериметром, треуголник "вырождается" в отрезок - одна сторона равна сумме двух других)

2) расстояние от вершины треугольника до любой точки противоположной стороны не превышает длину примыкающих к этой вершине сторон (длину бОльшей из примыкающих сторон). (Надо ли доказывать? Например, окружность с центром в данной вершине и радиусом, равным длине бОльшей из примыкающих сторон не будет пересекать протиаволежащую сторону)

Следовательно, это расстояние не может превышать полупериметр. (они могут быть только равны в случае упомянутого выше "вырожденного" треугольника)

Доказано?

Кажется так...

Sic!)

Ура!))