сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см,а двугранный угол при основания равен 45 градусов Найдите: а) площадь поверхности пирамиды б) расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани.

а) Пусть Н - середина ВС, тогда АН - медиана и высота правильного треугольника АВС, SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SBC.Тогда ∠SHO = 45° - линейный угол двугранного угла при ребре основания.Sпов = Sосн + SбокSосн = а²√3 /4, где а - сторона основания.Sосн = 3² · √3 / 4 = 9√3/4 см²Высота основания:АН = а√3/2 = 3√3/2 смОН = 1/3 АН = √3/2 смΔSOH: ∠SOH = 90°, cos ∠SHO = OH / SH             SH = OH / cos∠SHO = √3/2 / (√2/2) = √3/√2 = √6/2 смSбок = 1/2Pосн · SH.Sбок = 1/2 · 3 · 3 · √6/2 = 9√6/4 см²Sпов = 9√3/4 + 9√6 / 4 = 9√3/4 (1 + √2) см²б).В ΔSAH проведем АК⊥SH.Проекция АК на плоскость основания лежит на АН, значит перпендикулярна ВС, тогда и АК⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах;АК⊥SH по построению, значит АК перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости SBC, значит АК⊥SBC.Т.е. АК - искомое расстояние от вершины А до противолежащей боковой грани.ΔАКН: ∠АКН = 90°, sin∠AHK = AK/AH             AK = AH · sin∠AHK = 3√3/2 · √2/2 = 3√6/4 см