В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34 см. Найдите основание треугольника.

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34 см. Найдите основание треугольника.-Назовем треугольник АВС, АВ=ВС, АС- основание, ВН - высота, центр окружности - О. Решение:Способ 1)Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. Высота ВН - биссектриса и медиана. ⇒АН=СН Проведем в ∆ АВН биссектрису  угла А. Тогда по свойству биссектрисы отношение, в котором она делит сторону ВН, равно отношению сторон, содержащих угол А, т.е. АВ:АН=17:1534:АН=17:15⇒АН=34•15:17=30AC=2•AH=60 см------Способ 2)Пусть коэффициент отношения отрезков высоты будет а.Тогда ВО=17а, ОН=15аПроведем из О радиус ОТ в точку касания с ВС. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.  ОТ⊥ВС .В прямоугольных треугольниках ВНС и ВТО общий острый угол при В. Если прямоугольные треугольники имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.Из подобия следует отношение:ВС:ВО=НС:ОТОТ=ОН=r=15а34:17a=НС:15а34•15a=HC•17aНС=34•17:15=30АС=30•2=60 (см)