Докажите, что середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба

В общем случае утверждение неверное.

у ромба диагонали пересекаются под прямым углом (и делятся точкой пересечения пополам)

Диагоналями четырёхугольника будут отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон параллелограмма. Эти отрезки будут параллельны сторонам параллелограмма. Значит угол между ними будет равен углу между сторонами параллелограмма.

Итого: для верности утверждения требуется, чтобы параллелограм прямоугольником.

Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны (потому что стороны прямоугольника параллельны диагоналям - это  средние линии) в треугольниках, на которые диагонали делят параллелограм) . Раз диагонали перпендикулярны,то КАЖДАЯ делит параллелограм на РАВНОБЕДРЕННЫЕ треугольники, потому что в них медианы и высоты к основанию (которым и является диагональ) совпадают. Значит все стороны равны между собой