Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках А1, В1, С1.

Докажите, что АС1=1/2(АВ+АС-ВС)
Распишите пожалуйста все подробно.

Соседние стороны треугольника - касательные к окружности, проведенные из одной точки. 

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

АС1=АА1 

А1В=ВВ1

В1С=СС1

Р(АВС)=АВ+ВС+АС

Заменим  равные отрезки 

АА1 на АС1, 

А1В на ВВ1, 

СС1 на В1С

и запишем периметр треугольника АВС иначе: 

2АС1+2ВВ1+2В1С

Периметр один и тот же, поэтому: 

2АС1+2ВВ1+2В1С=АВ+ВС+АС

2ВВ1+2В1С=2ВС => 

2 АС1=АВ+ВС+АС-2ВС =>

АС1=(АВ+АС-ВС):2, что и требовалось доказать.