д-ть, что диагональ куба перпендикулярна любой скрещивающийся с ней диагональю боковой грани

Используем теорему о трёх перпендикулярах. Если проекция прямой перпендикулярна прямой,  лежащей в плоскости, то и сама прямая перпендикулярна этой прямой.

Проекцией диагонали куба на боковую грань, где находится скрещивающаяся с ней диагональ, является другая диагональ этой грани. Т.к. грани - квадраты, то диагонали его взаимно перпендикулярны. Следовательно, проекция перпендикулярна диагонали боковой грани, значит и сама диагональ ей перпендикулярна.