Радиус OM окружности с центром O делит хорду AB пополам. Докажите, что касательная, проведенная через точку M, параллельна хорде AB.

Триугольник ОАВ - равнобедренный(ОА=ОВ - радиусы) => радиус ОМ - перпендикуляр => ав||касательной

Надеюсь то, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, доказывать не нужно?

Если да, то остается только доказать, что радиус, делящий хорду пополам перпендикулярен этой хорде.(ведь если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой)

А это доказывается легко:

1) Назовем К точку пересечения ОМ и АВ. По условию АК = КВ

2) проведем радиусы к концам хорды (к точкам А и В)

рассмотрим треугольники ОКА и ОКВ

у них

- сторона ОК общая

- стороны ОА и ОВ равны радиусу окружности  и между собой

- стороны АК и КВ равны

Значит, треугольники эти (по трем сторонам) равны.

Следовательно, углы ОКА и ОАВ - равные. А раз угол АКВ равен 180 градусов, то ОКА=ОКВ=180/2 = 90 градусов.

Итак, АВ перпендикулярна ОМ.

Касательная, проходящая через М  тоже перпендикулярна ОМ

Следовательно АВ параллельна касательной.

В чем и хотелось убедиться вечно сомневающемуся автору задачи.))

Ура!))