в трапеции ABCD основание AD в 3 раза больше основания BC. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Средняя линия трапеции пересекает диагонали в точках M и N. Найдите отношение площади треугольника MON к площади трапеции

Средняя линия трапеции - полусумма оснований. Обозначим среднюю линию трапеции КL

Средняя линия этой трапеции состоит из КМ, равной ( из треугольника АВС) половине ВС, и МL, равной половине АD, как половина второго основания . МL=3 половины ВС,так как АD:2= 3 ВС:2.

NL=1/2 ВС из Δ ВСD как средняя его линия. Отсюда МN=2NL

МN=2NL=ВС, и Δ МОN=Δ ВОС по равной стороне и 2-м углам, как накрестлежищим при пересечении параллельных прямых секущими ВD и АС.

Из свойства треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями, треугольники, прилежащие к основаниям, подобны.

Δ ВОС ≈ Δ АОD также и по по трем равным углам. Следовательно, и Δ МОN, как равный Δ ВОС, подобен Δ АОD

Площадь трапеции - произведение полусуммы оснований на высотуS АВСD=h*КL

В подобных треугольниках высоты относятся как их стороны. ВысотаΔ ВОС =1/3 h Δ АОD = 1/4 h АВСD

Площадь ВОС равна половине произведения 1/4 h трапеции на ВСВС=1/2 КL

S Δ  ВОС равна (1/2 КL*1/4 h):2 =1/16 h*КLПлощадь Δ МОN, как равного Δ ВОС, равна 1/16 h*КLСледовательно, SΔ МОN: S АВСD - 1:16